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Autor Tema: Problema con integral  (Leído 337 veces)

iulisesq

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Problema con integral
« en: Febrero 29, 2016, 23:27:21 pm »
Hola!

si f(x) = ax + b es una función lineal y la siguiente ecuación es válida para cualquier valor positivo de m:

\displaystyle\int_{-m/2}^{m} f(x) dx = \displaystyle\frac{m*(m+1)}{2}

entonces f(x) = \displaystyle\frac{a*x + b}{3}

cómo encuentro los valores de a y b?

Gracias

RIEMMAN

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Re:Problema con integral
« Respuesta #1 en: Marzo 05, 2016, 19:30:58 pm »
\[\begin{align} & \int\limits_{-{m}/{2}\;}^{m}{f\left( x \right)dx}=\int\limits_{-{m}/{2}\;}^{m}{\frac{ax+b}{3}dx}=\frac{1}{3}\int\limits_{-{m}/{2}\;}^{m}{\left( ax+b \right)dx}=\frac{1}{3}\left[ \frac{a}{2}{{x}^{2}}+bx \right]_{-{m}/{2}\;}^{m}= \\ & =\frac{1}{3}\left[ \left( \frac{a}{2}{{m}^{2}}+bm \right)-\left( \frac{a}{2}{{\left( -\frac{m}{2} \right)}^{2}}+b\left( -\frac{m}{2} \right) \right) \right]=\frac{1}{3}\left( \frac{a}{2}{{m}^{2}}+bm-\frac{a}{8}{{m}^{2}}+\frac{b}{2}m \right)= \\ & \frac{1}{3}\left( \frac{3}{8}a{{m}^{2}}+\frac{3}{2}bm \right)=\frac{1}{8}a{{m}^{2}}+\frac{1}{2}bm=\frac{m}{2}\left( \frac{1}{4}am+b \right) \\ & \\ & \frac{m}{2}\left( \frac{1}{4}m+b \right)=\frac{m\cdot \left( m+1 \right)}{2}\Rightarrow \left\{ \begin{align} & \frac{1}{4}a=1\Rightarrow a=4 \\ & b=2 \\ \end{align} \right. \\ \end{align}\]