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Autor Tema: Curiosidad: Cómo hallan los decimales infinitos de pi  (Leído 870 veces)

nava98

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Curiosidad: Cómo hallan los decimales infinitos de pi
« en: Noviembre 10, 2015, 23:15:31 pm »
Tenía esta duda, era por si sabían que tipo de teorema o proceso utilizan para ir hallando los infinitos decimales de pi.  ;D

Suiron

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Re:Curiosidad: Cómo hallan los decimales infinitos de pi
« Respuesta #1 en: Noviembre 15, 2015, 16:35:18 pm »
Métodos iterativos convergentes.

Cuando no puedes dar numéricamente el valor exacto de un número --mismamente lo que pasa con \pi-- debes buscar un método que te proporcione aproximaciones de dicho número, que a cada iteración estés más cerca del valor exacto y que el método sea lo más veloz posible.


Un método muy ilustrativo es buscar el valor exacto de \pi con el método de bisección.
Requisitos:
1-. Tener una función que se anule en \pi.
2-. Que dicha función sea continua en un intervalo [a_{1}, b_{1}] que presente cambios de signos.

Tomamos f(x) = x - \pi que es claramente continua en todo \mathbb{R} y nos tomamos el intervalo [2, 5]. Comprobamos que la función cambia de signo:

f(2) = 2 - \pi < 2 - 3 = -1 < 0
f(5) = 5 - \pi > 5 - 4 = 1 > 0

Como la función es continua en el intervalo y además presenta un cambio de signo, el Teorema del Valor Intermedio asegura la existencia de un cierto valor c \in [2, 5] de manera que f(c) = 0. Obviamente ese c es c = \pi \in [2, 5].


A continuación, tomamos x_{1} = \displaystyle \frac{a_{1} + b_{1}}{2} y estudiamos el signo de f(x_{1}).
- Si f(x_{1}) > 0, entonces nos tomamos ahora el intervalo [a_{2}, b_{2}] = [a_{1}, x_{1}]
- Si f(x_{1}) < 0, entonces nos tomamos ahora el intervalo [a_{2}, b_{2}] = [x_{1}, b_{1}]
- Si f(x_{1}) = 0, entonces concluiríamos que c = x_{1}

En este caso tendríamos que x_{0} = 3{'}5 y que f(3{'}5) = 3'5 - \pi > 0; así que nos pasamos al intervalo [2, 3{'}5].


Como estamos en las mismas condiciones --f sigue siendo continua en el intervalo y además sigue presentando cambios de signo-- podemos aplicar exactamente lo mismo. Calculamos x_{2} = \displaystyle \frac{a_{2} + b_{2}}{2} y evaluando f(x_{2}) vemos su signo, y decidimos un nuevo intervalo.


Haciendo eso de manera indefinida se van obteniendo aproximaciones del número \pi. Obsérvese que el intervalo cada vez es más chico.

Sea l_{i} = b_{i} - a_{i} la longitud del i-ésimo intervalo. Entonces el siguiente intervalo verifica que
l_{i+1} = \displaystyle \frac{l_{i}}{2} = \frac{l_{1}}{2^{i}} \ \ \ \stackrel{n \to +\infty}\longrightarrow 0
y, por tanto, el método aproxima al valor exacto de \pi de una manera más precisa en cada iteración.



Este método es tremendamente fácil de entender, tremendamente fácil de programar y tremendamente malo a la hora de aproximar puesto que es muy lento. Hay muchos métodos iterativos para aproximar valores, como el de Newton-Raphson, que ya es más rápido.

Otra necesidad en cualquier método, por bueno que sea, es tener un ordenador con un procesador capaz de tirar de operaciones con millones de dígitos como en el caso de \pi, del cual si no recuerdo mal la cantidad de dígitos que se conocen de él son ya del orden de billones.