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Autor Tema: Necesito demostrar que un punto es un extremo absoluto[Calculo varias variables]  (Leído 162 veces)

minipabloxd1

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f(x,y)=x^4 +y^4 -2(x-y)^2 Una vez que he analizado los puntos críticos con el Hessiano de la siguiente función he obtenido que (0,0) es un punto de silla, (√2,-√2) un mínimo y (-√2,√2) un máximo.Hasta ahi es fácil pero ahora quiero saber si los últimos dos puntos son extremos relativos o absolutos.El hessiano me dice si es máximo o mínimo pero nada más.Necesito que alguien me demuestre que el punto es un máximo o un mínimo.

Mi profesor nos dijo que un buen comienzo para una demostracion rigorosa seria considerar que f(x,y)/(x^4 +y^4) esta acotado por 1, espero que a la gente que entienda le sirva de algo
Muchisimas gracias por su tiempo y espero que me puedan guiar por este extenso mundo de el calculo multivariable ;D ;D ;D ;D

Mr.Feynmann

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La forma de tu función es esta:
https://www.wolframalpha.com/input/?i=f(x,y)%3Dx%5E4%2By%5E4-2*(x-y)%5E2

Los dos puntos que has puesto son mínimos con el mismo valor. Efectivamente el 0,0 es punto silla.

Evidentemente cuando x o y tienden a infinito f tiende a infinito, pues terminan los términos cuárticos frente a los cuadráticos, por lo que si aparecieran máximos sabríamos que son relativos (que ya sabemos que no aparecen, pero te doy un truco para casos similares sencillos).

Ahora queremos saber si los mínimos son relativos o absolutos. Como ambos son iguales, podríamos decir que son relativos por tener otro punto de igual valor y curarnos en salud, pero yo no daría esta respuesta como válida.

Lo que te tienes que preguntar es ¿habrá otro punto por debajo de los dos mínimos?

Hay varias formas de estudiarlo, yo haría lo siguiente:

-En primer lugar, la función es simétrica al intercambiar x por -y así como x por y. De modo que solo tenemos que resolver un subdominio: uno cualquiera de los cuatro que aparecen separados por la mediatriz entre los dos puntos de mínimo (esta recta es x=y) y la propia recta que une los dos puntos de mínimo (x=-y), es decir, uno de los cuadrantes que quedan al hacer una X.

Transportando el origen a uno de los mínimos (el que quede en el subdominio que elijas) puedes ver que, dentro de este subdominio, la función es SIEMPRE creciente con la distancia al punto, independientemente de la dirección tomada.  Como sabemos que estamos en un mínimo, si todo es creciente con la distancia al mismo,  este mínimo es absoluto en dicho subdominio.

Para ver esto puedes tomar una nueva coordenada radial y otra angular (r,tita) pueden servirte para ver que la función es creciente con r mientras el punto pertenezca al subdominio elegido.

Una vez demostrado esto, por la simetría mencionada, sabrás que no hay ningún otro punto por debajo de ellos en todo el dominio (son los cuatro cuadrantes iguales).

Cualquier otra duda coméntame y te explico mejor (si la duda es que te lo haga no, que es mejor que pienses tú aunque ya te he dado la explicación).

Suerte y un abrazo :)

« Última modificación: Abril 23, 2017, 12:11:55 pm por Mr.Feynmann »